Το παράδοξο των γενεθλίων

Αν μαζεύατε σε μια αίθουσα 23 άτομα και τους λέγατε να γράψουν σε ένα πίνακα την ημέρα που έχουν γενέθλια, όσο απίθανο κι αν ακούγεται,  η πιθανότητα να εμφανιστεί δύο φορές η ίδια ημερομηνία στον πίνακα είναι μεγαλύτερη από 50%. Αν τα άτομα γίνουν 41, η πιθανότητα γίνεται μεγαλύτερη από 90% και τέλος στα 57 άτομα γίνεται 99%!

Ας θεωρήσουμε P(A) την πιθανότητα να υπάρχουν 2 άτομα με ίδια ημέρα γενεθλίων. Συνεπώς, η P(A’) είναι η πιθανότητα να  μην υπάρχουν.

P(A')=1-P(A)

Για ένα άτομο η πιθανότητα είναι 365/365=1 δηλαδή 100%. Για το δεύτερο άτομο η πιθανότητα να μην έχει ίδια ημέρα γενέθλια με το πρώτο είναι 364/365. Για το τρίτο άτομο είναι 363/365.

P(A')=365/365×364/365×363/365×...×343/365 =>
P(A') = 0.49270276

Άρα η πιθανότητα που μας ενδιέφερε θα είναι:

P(A) = 1 − 0.49270276 = 0.507297

Δηλαδή 50,7%!

Άτομα Πιθανότητα
5 2.7%
10 11.7%
15 25.3%
20 41.1%
23 50.7%
30 70.6%
40 89.1%
50 97.0%
57 99.0%
100 99.99997%
200 99,9999999999999999999999999998%

Ο αλγόριθμος για τον υπολογισμό πιθανότητας για άτομα Ν είναι ο εξής:

Αλγόριθμος BirthdayParadox
 Εμφάνισε "Δώστε πλήθος ατόμων..."
 Διάβασε Ν
 Ρτόνος  1
 Για i από 1 μέχρι Ν
  Pτόνος  Pτόνος*(366-i)/365
 Τέλος_επανάληψης
 P  (1-Pτόνος)*100
 Εμφάνισε "Στα ",N," άτομα η πιθανότητα είναι ",P,"%"
Τέλος BirthdayParadox